Matemática Financeira Para Concursos Públicos – CEF e BB
1. (Fiscal da Receita Federal) Indique, nas opções abaixo, qual a taxa unitária anual equivalente à taxa de juros simples de 5% ao mês.
a) 0,7.
b) 0,4.
c) 0,6.
d) 0,8.
e) 0,5.
Solução: 0,05 x 12 = 0,6
2. (TTN) Se 6/8 de uma quantia produzem 3/8 desta mesma quantia de juros simples em 4 anos, qual é a taxa aplicada?
a) 70% a.a.
b) 40% a.a.
c) 20% a.a.
d) 13,6% a.a.
e) 12,5% a.a.
Solução: J = C . i .n
3/8 = 6/8 . i . 4
3/8 : 6/8 = i . 4
3/8 x 8/6 = i . 4
24/48 = 4 . i
0,5 : 4 = i
i = 0,125 x 100
i = 12,5% a.a.
3. (AFTN) O desconto comercial simples de um título 4 meses antes do seu vencimento é de R$ 600,00. Sendo uma taxa de 5% a.m., o valor correspondente no caso de um desconto racional simples é de?
a) R$ 200,00.
b) R$ 300,00.
c) R$ 400,00.
d) R$ 500,00.
e) R$ 600,00.
Solução: Dc = Dr . (1 + i.n)
600 = Dr . (1 + 0,05 . 4)
600 = Dr. (1 + 0,2)
Dr = 600 : 1,2
Dr = 500
4. O desconto comercial de um título descontado 3 meses antes de seu vencimento e à taxa de 40% a.a. é de R$ 550,00. Qual é o desconto racional?
a) R$ 200,00.
b) R$ 300,00.
c) R$ 400,00.
d) R$ 500,00.
e) R$ 600,00.
Solução: Dc = Dr . (1 + i.n)
550 = Dr . (1 + 0,4 . 0,25)
550 = Dr. (1 + 0,1)
Dr = 550 : 1,1
Dr = 500
5. (Folha dirigida) Um investidor que aplicar R$ 15.000,00 durante 8 meses a uma taxa mensal de 2% a juros simples receberá, em reais, juros de?
a) R$ 2.400,00.
b) R$ 2.160,00.
c) R$ 2.200,00.
d) R$ 2.250,00.
e) R$ 3.230,00 .
Solução: J = C . i .n
J = 15000 x 0,02 x 8
J = 300 x 8
J = 2400
6. (Analista BACEN) Na capitalização simples, a taxa que faz duplicar um capital em 2 meses vale?
a) 40%
b) 42,0%
c) 54%
d) 60%
e) 50%
Solução: M = C + J
2.C = C + C . i . 2
2.C – C = C + i . 2
1.C = C . i . 2
1.C : C = i . 2
1 = i . 2
i = 1 : 2
i = 0,5 x 100
i = 50%
7. (Analista BACEN) Na capitalização simples, os juros correspondentes à aplicação de R$ 2.000,00 por 2 meses, à taxa de 4% a.m. é de?
a) R$ 140,00.
b) R$ 160,00.
c) R$ 200,00.
d) R$ 230,00.
e) R$ 170,00.
Solução: J = C . i .n
J = 2000 x 0,04 x 2
J = 80 x 2
J = 160
8. (Analista BACEN) O valor do desconto simples por fora, de um título de R$ 2.000,00 com vencimento para 120 dias à taxa de juros 3% a.m. é de?
a) R$ 269,00.
b) R$ 179,00.
c) R$ 230,00.
d) R$ 359,00.
e) R$ 240,00.
Solução: Dc = N . i . n
Dc = 2000 x 0,03 x 4
Dc = 60 x 4
Dc = 240
9. Peguei emprestado R$ 10.000,00 a juros de 3% a.m. pelo prazo de seis meses com capitalização composta. Quanto terei que devolver no final do prazo?
Solução: M = C x (1+i)^n
M = 10.000 x ( 1 + 0,03)^6
M = 10.000 x (1,03)^6
M = 10.000 x 1,194052
M = 11.940,52
10. Quanto de juros terá que pagar uma pessoa que emprestou R$ 10.000,00 à taxa de 2% a.m. de juros compostos pelo prazo de 8 meses?
Solução: M = C x (1+i)^n
M = 10.000 x ( 1 + 0,02)^8
M = 10.000 x (1,02)^8
M = 10.000 x 1,1171659
M = 11.716,59
Logo…
J = M – C
J = 11.716,59 – 10.000 = 1.716,59
11. Uma pessoa emprestou o capital de R$ 1.000,00 à taxa de juros compostos de 21% a.a., pelo prazo de 2 anos e 6 meses. Utilizando a convenção linear, quanto a pessoa terá que devolver no final do prazo?
Solução: Convenção Linear:
M = C0 . (1 + i)^n . (1 + i.m)
M = 1.000 . (1,21)^2. (1 + 0,21 . 0,5)
M = 1.000 x 1,4641 x (1 + 0,105)
M = 1.000 x 1,4641 x (1,105)
M = 1.537, 31
12. Uma pessoa emprestou o capital de R$ 1.000,00 à taxa de juros compostos de 21% a.a., pelo prazo de 2 anos e 6 meses. Utilizando a convenção exponencial, quanto a pessoa terá que devolver no final do prazo?
Solução: Convenção Exponencial:
M = C0 . (1 + i)^n. (1 + i)^p/q
M = 1.000 . (1,21)^2. (1,21)^1/2
M = 1.000 x 1,4641 x 1,1
M = 1.000 x 1,61051
M = 1.610,51
13. Um título no valor de R$ 100.000,00 será saldado 3 meses antes de seu vencimento. O portador do título conseguiu uma taxa de desconto comercial simples de 5% a.m. Qual o valor que o portador recebeu? E qual o valor do desconto comercial?
Solução: Primeiramente vamos obter o valor atual comercial (o valor que o portador recebeu).
VAC = N.(1 – i . n)
VAC = 100.000.(1 – 0,05 . 3 )
VAC = 100.000 x (1 – 0,15)
VAC = 100.000 x 0.85
VAC = 85.000
Logo o desconto comercial será:
Dc = N – VAC
Dc = 100.000 – 85.000
Dc = 15.000
14. Um título no valor de R$ 100.000,00 será saldado 3 meses antes de seu vencimento. O portador do título conseguiu uma taxa de desconto composto comercial de 5% a.m. Qual o valor que o portador recebeu? E qual o valor do desconto comercial?
Solução: Primeiramente vamos obter o valor atual comercial (o valor que o portador recebeu).
VAC = 100.000 . (1 – 0,05)^3
VAC = 100.000 . 0,95^3
VAC = 100.000 x 0,857375
VAC = 85.737,50
Logo o desconto comercial será:
Dc = N – VAC
Dc = 100.000 – 85.737,50
Dc = 14262,50
15. Um título no valor de R$ 100.000,00 será saldado 3 meses antes de seu vencimento. O portador do título conseguiu uma taxa de desconto racional simples de 5% a.m. Qual o valor que o portador recebeu? E qual o valor do desconto racional (“Desconto por Dentro”)?
Solução: Primeiramente vamos obter o valor atual racional (o valor que o portador recebeu)
VAR = N : ( 1 + i . n)
VAR = 100.000 : ( 1 + 0,05. 3)
VAR = 100.000 : ( 1 + 0,15)
VAR = 100.000 : 1,15
VAR = 86.956,52
Logo o desconto racional será de: N – VAR
Dr = 100.000 – 86.956,52 = 13.043,48
16. Um título no valor de R$ 100.000,00 será saldado 3 meses antes de seu vencimento. O portador do título conseguiu uma taxa de desconto racional (composto) de 5% a.m.Qual o valor que o portador recebeu? E qual o valor do desconto racional (“Desconto por Dentro”)?
Solução: Primeiramente vamos obter o valor atual racional (o valor que o portador recebeu)
VAR = 100.000 : ( 1 + 0,05)^3
VAR = 100.000 : 1,157625
VAR = 86.383,76
Logo o desconto racional será de: Dr = N – VAR
Dr = 100.000 – 86.383,76 = 13.616,24
17. Uma pessoa deve a uma financeira R$ 20.000,00 em 12 meses, resolve antecipar parte de sua dívida pagando hoje R$ 5.000,00, comprometendo-se a pagar R$ 12.000,00 em 6 meses. Que valor restante será pago em 12 meses, se a taxa de desconto comercial (composta) considerada foi de 10% ao semestre?
Solução: Primeiramente vamos encontrar o valor de sua dívida hoje, achando o valor atual comercial.
VAC1 = 20.000 . (1 – 0,1)^2
VAC1 = 20.000 . (0,9)^2
VAC1 = 20.000 . 0,81
VAC1 = 16.200
Como foi pago hoje R$ 5.000 então temos:
16.200 – 5.000 = 11.200 restantes
Agora vamos ver o valor atual comercial do 2º título:
VAC2 = 12.000 . (1 – 0,1)^1
VAC2 = 12.000 . 0,9
VAC2 = 10.800
O valor restante será:
VAC3 = N . (1 – 0,1)^2
VAC3 = 0,81N
Fazendo a comparação:
0,81.N + 10800 = 11200
0,81.N = 11200 – 10800
0,81.N = 400
N = 400 : 0,81
N = 493,83
18. Uma pessoa pretende saldar um título de R$ 5.500,00, 3 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 40% a.a., o desconto comercial simples e o valor atual comercial simples que essa pessoa vai obter, é igual a:
a) R$ 500,00 e R$ 5.000,00
b) R$ 550,00 e R$ 4.950,00
c) R$ 450,00 e R$ 5.000,00
d) R$ 600.00 e R$ 5.000,00
e) R$ 300,00 e R$ 5.500,00
Solução:
VAC = 5.500 . (1 – 0,4 . 0,25)
VAC = 5.500 . ( 1 – 0,1)
VAC = 5.500 . 0,9
VAC = 4.950
Logo…
Dc = N – VAC
Dc = 5.500 – 4950
Dc = 550
A solução das questões de número 19 a 22 poderão ser apoiadas pelo uso das tabelas a seguir onde se encontram resultados de cálculos de fórmulas da Matemática Financeira, em especial referente a juros compostos para pagamento único e para séries de pagamentos iguais. O candidato deverá escolher a alternativa mais próxima do resultado obtido. Quando for necessário converter unidades de tempo deve-se considerar que um ano tem 12 meses ou 360 dias, e um mês tem 30 dias.
19. (FMP/TCE-RS/2011) O rendimento de R$ 1.500,00 aplicados por três meses à taxa de juros simples de 30% ao ano é:
(A) R$ 112,50.
(B) R$ 1.612,50.
(C) R$ 1.800,00.
(D) R$ 3.784,15.
(E) R$ 4.284,15.
30% ao ano = 2,5% ao mês = 0,025
Solução: J = C . i .n → J = 1500 x 3 x 0,025 = 112,50.
20. (FMP/TCE-RS/2011) A aplicação de R$ 22.000,00 em um fundo que rende juros compostos à taxa de 2% ao mês acumula um saldo após o 7º mês de:
(A) R$ 3.080,00.
(B) R$ 3.271,40.
(C) R$ 25.080,00.
(D) R$ 25.271,40.
(E) R$ 27.900,40.
Solução: M = C . (1 + i)^n
M = 22.000 . (1 + 0,02)^7
M = 22.000 . (1,02)^7
M = 22.000 x 1,1487
M = 25.271,00
21. (FMP/TCE-RS/2011) A taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 18% ao semestre capitalizados mensalmente é:
(A) 15,08%.
(B) 21,49%.
(C) 25,66%.
(D) 19,41%.
(E) 42,58%.
Solução: Primeiramente, sabemos que à taxa nominal de 18% ao semestre capitalizados mensalmente, corresponde a 18/6 = 3% a.m.
Questão sobre taxas equivalentes a juros compostos. Vamos primeiramente estabelecer a relação entre as taxas dadas:
(1+ 0,03)^12 = (1 + i)
(1,03)^12 = (1 + i)
1,4258 = (1 + i)
i = 1,4258 – 1
i = 0,4258 x 100
i = 42,58% a.a.
22.(FMP/TCE-RS/2011) Um a pessoa faz aplicações mensais iguais a R$ 2.000,00 num fundo que remunera a taxa de juros compostos de 1% ao mês. Após a 10ª aplicação o saldo do fundo é:
(A) R$ 18.942,60.
(B) R$ 20.000,00.
(C) R$ 20.924,00.
(D) R$ 21.120,00.
(E) R$ 22.092,00.
Solução: S = R x [(1 + i)^n – 1] : i (fórmula do montante para renda certa postecipada)
Substituindo, temos: S = 2000 x [(1 + 0,01)^10 – 1] : 0,01
S = 2000 x [(1,01)^10 -1 ] : 0,01
S = 2000 x [1,1046 -1 ] : 0,01
S = 2000 x [0,1046] : 0,01
S = 2000 x [0,1046] : 0,01
S = 2000 x 10,46
S = 20.920,00 (aproximadamente)
23. Se, ao descontar uma promissória com valor de face de R$ 5.000,00, seu detentor receber o valor de R$ 4.200,00, e se o prazo dessa operação for de 2 meses, então a taxa mensal de desconto simples por fora (comercial) será igual a:
A) 5%.
B) 6%.
C) 7%.
D) 8%.
E) 9%.
Solução:
Valor nominal (N): N = R$ 5.000,00;
Valor atual comercial (VAC): VAC = R$ 4.200,00
Desconto comercial simples (por fora) (Dc): Dc = N – VAC
Para encontrar o desconto comercial simples (por fora), temos:
Dc = 5000 – 4200
Dc = R$ 800,00
Prazo de antecipação (n): n = 2 meses
Dc = N . i . n
800 = 5000 . i . 2
800 = 10000.i
i = 800/ 10000
i = 8/100
i = 0,08
i = 8% ao mês
Resposta: D
24. Em determinada casa comercial são concedidos descontos de 10% no preço das mercadorias, para as vendas a vista. Esta mesma casa cobra 24% de juros para as vendas com prazo de pagamento de 60 dias. Nessas condições, qual é a taxa mensal nominal de juros simples?
a) 12,00%
b) 18,89%
c) 24,00%
d) 27,00%
e) 37,78%
Solução: Solução: Preço a Vista (Pav) = 100
Desconto (Desc) = 0,10 x 100 = 10
Preço com Desconto (P. desc.) = 100 – 10
Prazo de 60 dias = 100 + 0,24 x 100 = 100 + 24 = 124
Logo…..
Jn = 124 – 100 = 24
i.n = 24 : 100
i.n = 0,24 (60 dias)
i = 24/2 = 0,12 = 12 % ao mês (Letra A)
25. Em determinada casa comercial são concedidos descontos de 10% no preço das mercadorias, para as vendas a vista. Esta mesma casa cobra 24% de juros para as vendas com prazo de pagamento de 60 dias. Nessas condições, qual é a taxa mensal efetiva de juros simples?
a)12,00%
b) 18,89%
c) 24,00%
d) 27,00%
e) 37,78%
Solução: Preço a Vista (Pav) = 100
Desconto (Desc) = 0,10 x 100 = 10
Preço com Desconto (P. Desc.) = 100 – 10
Prazo de 60 dias = 100 + 0,24 x 100 = 100 + 24 = 124
Logo……
Je = 124 – 90 = 34
i.n = 34 : 90
i.n = 0,3778 : 2 (60 dias)
i = 0,1889 = 18,89 % ao mês (Letra B)
26. Calcular a taxa de juros simples trimestral proporcional à taxa de 24% a.a.?
Solução: 24 : 4 = 6% a. t.
27. Calcular a taxa de juros simples anual proporcional à taxa de 3% ao mês?
Solução: 3 x 12 = 36% a.a.
28. Uma pessoa investiu R$ 1.000,00 durante 1 ano e 9 meses, e resgatou R$ 1.350,00. Qual a taxa de juros simples aplicada na operação?
Solução: M = C . (1 + i . n)
1.350 = 1.000 . (1 + i . 21)
1.350 = 1.000 + 21.000 . i
1.350 – 1.000 = 21.000 . i
350 = 21.000 . i
i = 350 : 21.000
i = 0,0166666 x 100
i = 1,67% a.m.
29. Quanto tempo deve ficar aplicado um capital de R$ 1.200,00 à taxa simples de juros de 22% a.a., para gerar um montante de R$ 2.366,00?
Solução: M = C . (1 + i . n)
2.366 = 1.200 . (1 + 0,22 . n)
2.366 = 1.200 + 264 . n
2.366 – 1.200 = 264 . n
1.166 = 264 . n
n = 1.166 : 264
n = 4,4166666666 anos
n = 4 anos + 0,41666666 x 12 = 5 meses
Resposta: 4 anos e 5 meses
30. Quanto tempo deve ficar aplicado um capital para que o juro simples seja igual a cinco vezes o capital, se a taxa de juros for de 25% a.a.?
Solução: J = C . i . n
5.C = C . 0,25 . n
5.C : C = 0,25 . n
5 = 0,25 . n
n = 5 : 0,25
n = 20 anos
31. A quantia de R$ 1.500,00 foi aplicada à taxa de juros simples de 42% a.a. pelo prazo de 100 dias. Qual será o juros comercial e exato desta operação?
Solução: Para calcular os juros comerciais, temos:
Jc = [(C . i . n)] : 360
Jc = [(1.500 x 0,42 x 100)] : 360
Jc = (63.000) : 360
Jc = 175
Para calcular os juros exatos, temos:
Je = [(C . i . n)] : 365
Jc = [(1.500 x 0,42 x 100)] : 365
Jc = (63.000) : 365
Jc = 172,60
Resposta: Jc = 175,00 e Je= 172,60
32. Um capital de R$ 3.000,00 foi aplicado à uma taxa de 5% ao mês por 3 meses, outro de R$ 5.000,00 à taxa de 10% ao mês por 5 meses e um outro de R$ 6.000,00 à uma taxa de 8% ao mês por 4 meses. Pergunta – se:
Qual a taxa média? 4,517%
Solução:
Média 1: (3.000 x 5 x 3)
Média 1: 45.000
Média 2: (5.000 x 10 x 5)
Média 2: 25.000
Média 3: (6.000 x 8 x 4)
Média 3: 192.000
Tirando a média aritmética, temos: (45.000 + 25.000 + 192.000) : (9.000 + 25.000 + 24.000)
262.000 : 58.000 = 4,517%
33. Uma pessoa pretende resgatar um título de R$ 5.000, quatro meses antes da data de vencimento. Sabendo que a taxa de juros simples é de 48% a.a., e que o banco cobra 2% como taxa de despesas administrativas, qual o valor do desconto bancário? e qual o valor atual bancário? R: R$ 900,00 e R$ 4.100,00
Lembre-se que 4 meses = 0,333333 anos ou 4/12
Solução: Db = N . (h + i . n)
Db = 5.000 x (0,02 + 0,48 . 0,3333)
Db = 5.000 x (0,02 + 0,16)
Db = 5.000 x 0,18
Db = 900
VAB = N . [ 1 – (h + i .n)]
VAB = 5.000 . [ 1 – (0,02 + 0,48 . 0,333)]
VAB = 5.000 . [ 1 – (0,02 + 0,16)]
VAB = 5.000 . [ 1 – 0,18]
VAB = 5.000 x 0,82
VAB = 4.100
34. Um empréstimo foi realizado a uma taxa de 32% ao ano. Considerando-se que a inflação do período foi de 21%, determine a taxa real anual.
Solução: Taxa aparente = 32% = 0,32
Inflação = 21% = 0,21
Podemos determinar a taxa real, a taxa aparente e a inflação de uma forma simples, utilizando a seguinte expressão matemática:
1 + ia= ( 1 + ir) * ( 1 + I)
Onde:
ia = taxa aparente
ir = taxa real
I = inflação
(1 + 0,32) = (1 + ir) * (1 + 0,21)
(1,32) = (1 + ir) * 1,21
1,32/1,21 = 1 + ir
1,09 = 1 + ir
ir = 1,0909 – 1
ir = 0,0909
ir = 9,09%
A taxa real anual foi equivalente a 9,09%.
35. Uma instituição financeira cobra uma taxa real aparente de 20% ano, com a intenção de ter um retorno real de 8% ao ano. Qual deve ser a taxa de inflação?
Solução: Podemos determinar a taxa real, a taxa aparente e a inflação de uma forma simples, utilizando a seguinte expressão matemática:
1 + ia= ( 1 + ir) * ( 1 + I)
Onde:
ia = taxa aparente
ir = taxa real
I = inflação
Taxa aparente = 20% = 0,2
Taxa real = 8% = 0,08
(1 + 0,2) = (1 + 0,08) * (1 + I)
1,2 = 1,08 * (1 + I)
1,2 / 1,08 = 1 + I
1,11 = 1 + I
1,11 – 1 = I
I = 0,11
I = 11%
A taxa de inflação deve ser igual a 11%.
36. Qual deve ser a taxa aparente que equivale a uma taxa real de 1,2% ao mês e uma inflação de 15% no período?
Solução: Podemos determinar a taxa real, a taxa aparente e a inflação de uma forma simples, utilizando a seguinte expressão matemática:
1 + ia= ( 1 + ir) * ( 1 + I)
Onde:
ia = taxa aparente
ir = taxa real
I = inflação
Taxa real = 1,2% = 0,012
Inflação = 15% = 0,15
(1 + ia) = (1 + 0,012) * (1 + 0,15)
(1 + ia) = 1,012 * 1,15
1 + ia = 1,1638
ia = 1,1638 – 1
ia = 0,1638 x 100
ia = 16,38%
37. Um capital foi aplicado por dois meses a taxa composta racional efetiva de 50% a.m. Nestes 2 meses a inflação foi de 40% no primeiro mês e de 50% no segundo. Pode-se concluir que a taxa real de juros neste bimestre foi de aproximadamente:
a) 7,1%
b) 8,1%
c) 9,1%
d) 10,1%
e) 11,1%
Solução: taxa efetiva de 50% por dois meses: 1,5 * 1,5 = 2,25
taxa de inflação de 40% em um mês e 50% no outro 1,4 * 1,5 = 2,1
(1 + Taxa real) = (1 + taxa efetiva)/(1 + taxa de inflação)
(1 + Tr) = 2,25/2,1
(1 + Tr) = 1,07145
Tr = 1,07145 – 1
Tr = 0,07145
Tr = 0,07145 x 100
Tr = 7,145% a.b.
R: 7,1% a.b. (alternativa a)
38. (BNB 2004) A quantia de R$ 5000,00 foi aplicada por um período de 2 anos, transformando-se em R$ 40000,00. Se a rentabilidade real no período foi de 100% , qual foi a inflação medida no mesmo período?
a) 100% ao período.
b) 200% ao período.
c) 300% ao período.
d) 400% ao período.
e) 500% ao período.
Solução: Fator Real = (Fator Aparente)/(Fator Inflacionário)
2 = (40.000/5.000)/Fator Inflacionário
Fator Inflacionário = 4
1 + i = 4
i = 4 – 1
i = 3
i = 3 x 100
i = 300% ao período
39.Uma dívida correspondente à aquisição de um imóvel deverá ser liquidada por meio de 80 prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira um mês após a data da contração da dívida. O sistema de amortização utilizado foi o Sistema de Amortização Constante (SAC) a uma taxa de 2% ao mês. Se o valor da última prestação apresentou o valor de R$ 1.479,00, então o valor da primeira prestação foi igual a, em R$:
a) 3.640,00.
b) 3.705,00.
c) 3.723,00.
d) 3.770,00.
e) 3.835,00.
Solução Rápida: Última parcela = Amortização + Juros (Os juros agora são calculados sobre o Saldo Devedor X, que corresponde à última amortização).
1479 = X + X*0,02
X = 1450
Valor Total = 1450 * 80 = 116.000
Primeira Parcela = 1450 + 0,02 * 116000
Primeira Parcela = 3.770
Comentários: Sabemos que o valor da última parcela é de R$ 1.479,00 e que a taxa de juros é de 2%. Tem-se que as parcelas são formadas pelos juros sobre o saldo devedor mais a amortização:
Pmt = J + A (Parcela = Juros + Amortização) e que:
Jt = i x Sdt – 1 (Juros = Taxa x Saldo Devedor do Período Anterior)
Mas como descobrir o valor dos juros se não sabemos o saldo devedor? É claro que quando for paga a última prestação do empréstimo o saldo devedor será zerado. Sendo assim, pode-se concluir que o saldo devedor antes do pagamento da última prestação é igual ao valor a ser amortizado.
Substituindo na fórmula: Pmt80 = J + A
Pmt80 = (i x SD79) + A
Se SD79 = A, então:
PmtQ80 = (i x A) + A
1.479 = (0,02 x A) + A
1.479 = 0,02A + A
1.479 = 1,02A
A = 1.479 / 1,02
A = 1.450
O valor a ser amortizado do saldo devedor a cada parcela do empréstimo é o valor do empréstimo (P) dividido pelo prazo. Então:
A = P / t
1.450 = P / 80
P = 1.450 * 80
P = 116.000
Agora podemos encontrar o valor da primeira parcela:
Pmt1 = J + A
Pmt1 = (i x P) + A
Pmt1 = (0,02 x 116.000) + 1.450
Pmt1 = 2.320 + 1.450
Pmt1 = 3.770
40. Considere um financiamento imobiliário que poderá ser pago, nas mesmas condições, pelo Sistema Francês de Amortização (SFA), pelo Sistema das Amortizações Constantes (SAC) ou pelo Sistema Americano (SA).
É correto afirmar que:
a) o valor da primeira prestação será maior se escolhido o SFA.
b) a cota de juros paga na primeira prestação terá maior valor se escolhido o SA.
c) escolhido o SAC, as parcelas relativas ao pagamento das cotas de juros aumentam a cada prestação.
d) escolhido o SAC, a última prestação corresponderá à cota de amortização corrigida pela taxa do financiamento.
e) a última prestação terá o menor valor se escolhido o SA.
Comentários:
a) O valor maior será do SAC, já que como suas prestações vão diminuindo ele precisa ter uma prestação inicial maior que a dos demais.
b) No primeiro ano, o juros pago no SA será igual ao juros pago no SAC.
c) As parcelas diminuem.
d) Verdadeiro, as amortizações do SAC são “constantes”, logo o último saldo devedor é igual à amortização.
e) Será a maior, pois será o valor inteiro do financiamento + juros.
SAC PRICE (Francês) Americano
prestações decrescentes constantes constantes
juros decrescentes decrescentes constantes
amortização constantes crescentes ______
Exemplos:
Valor Financiamento = 331
Francês ou PRICE
amortizações: 100 110 121
prestações: 133 133 133
Valor Financiamento = 331
Sistema SAC
amortizações: 110 110 110
juros: 30 20 10
prestações: 140 130 120
Resumindo:
SAC:
- inicia-se com maior prestação, pagando menos juros
- juros diminuem – PA regressiva
- prestações diminuem – PA regressiva
41. Se uma dívida no valor de R$ 10.000,00 for paga, com juros de 5% ao mês, em 4 prestações mensais e consecutivas, pelo sistema de amortização constante (SAC), a soma das prestações pagas será igual a:
a) R$ 11.150,00.
b) R$ 11.250,00.
c) R$ 11.350,00.
d) R$ 11.450,00.
e) R$ 11.550,00.
Solução: Amortização: R$ 10.000/4 = R$ 2.500
parcela 1: R$ 10.000*0,05 + R$ 2.500 = R$ 3.000
parcela 2: R$ 7.500*0,05 + R$ 2.500 = R$ 2.875
parcela 3: R$ 5.000*0,05 + r$ 2.500 = R$ 2.750
parcela 4: R$ 2.500*0,05 + R$ 2.500 = R$ 2.625
Somatório:R$ 11.250,00
42. Um financiamento de R$ 10.000,00 foi contratado a juros efetivos de 2% ao mês e será pago em quatro prestações mensais com carência de quatro meses.
Assinale a alternativa que indica o Valor da amortização pelo Sistema de Amortização Constante (SAC).
a) R$ 2.653,02.
b) R$ 3.653,02.
c) R$ 4.653,02.
d) R$ 5.653,02.
e) R$ 6.543,02.
Solução: Se a carência é de 4 meses, então devemos “deslocar” a dívida em 3 meses para encontrarmos o saldo devedor e podermos aplicar o SAC, que tem como propriedade básica que a primeira parcela deve ser paga no próximo período (no caso um mês).
Assim,
T = C x (1 x i)n-1
T = R$ 10.000,00 x (1,02)4-1
T = R$ 10.000,00 x (1,02)3
T = R$ 10.000,00 x 1,061208
T = R$ 10.612,08
Após isso, basta aplicarmos a fórmula A = T / n para acharmos o valor da Amortização:
A = R$ 10.612,08 / 4 = R$ 2.653,02 (GABARITO A)
43. Uma dívida decorrente de um empréstimo deverá ser liquidada por meio de 120 prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira um mês após a data do empréstimo. Considerando que foi utilizado o Sistema de Amortização Constante (SAC) a uma taxa de 2% ao mês, verifica-se que o valor da última prestação é igual a R$ 1.275,00. O saldo devedor da dívida, imediatamente após o pagamento da 50a prestação, é:
a) R$ 87.500,00
b) R$ 86.250,00
c) R$ 75.000,00
d) R$ 68.750,00
e) R$ 62.500,00
Solução: Prestação = Amortização + Juros
E = Valor emprestado
Amortização = E/120
Juros = 2% sobre E/120
Então Prestação = E/120 + 0,02 x E/120 = 1,02 x E/120
R$ 1275,00 x 120 = 1,02 E
E = R$ 150.000,00
Saldo Devedor = 70/120 x R$ 150.000,00
Saldo Devedor = R$ 87.500,00
44. A dívida referente à aquisição de um imóvel deverá ser liquidada pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) por meio de 48 prestações mensais, a uma taxa de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação um mês após a data de aquisição. Se o valor da última prestação é de R$ 2.550,00, tem-se que o valor da 26ª prestação é igual a:
a) R$ 3.500,00.
b) R$ 3.550,00.
c) R$ 3.600,00.
d) R$ 3.650,00.
e) R$ 3.700,00.
Solução:
SAC:
n = 48
i = 0,02
P48 = 2550
P26 = ?
a = ?
Pn = a*(1+(n – T + 1)*i)
n = total das prestações
T = prestação procurada
Achando o valor da amortização (SAC) constante
P48 = a*(1 + (48 – 48 + 1)*0,02)
2.550 = a*1,02
a = 2.500
Achando o valor da parcela 26, temos:
P26 = 2.500*(1 + (48 – 26 + 1)*0,02)
P26 = 2.500*1,46
P26 = 3.650
45. Considere o fluxo de caixa representado a seguir:
Ano 0————————————–Valor do Investimento Inicial = R$ – 30.000,00
Ano 1————————————–Valor de R$ 8.800,00
Ano 2————————————–Valor de R$ 16.940,00
Ano 3————————————–Valor de R$ 19.965,00
O valor presente líquido desse fluxo de caixa, na data zero, à taxa de atratividade de 10% ao ano, a juros compostos, em reais, é:
a) 6.000.
b) 7.000.
c) 11.800.
d) 12.000.
e) 15.705.
Solução:
VPL = 8.800/ (1,1)1 + 16.940/ (1,1)2 + 19.965/ (1,1)3 – 30.000
VPL = 8.000 + 14.000 + 15.000 – 30.000
VPL = 37.000 – 30.000
VPL = 7.000
46. O fluxo de caixa a seguir corresponde a um projeto de investimento com taxa interna de retorno de 10% ao ano.
Ano 0——————————-Valor do Investimento Inicial = R$ – 40.000,00
Ano 1——————————-Valor de R$ 10.000,000
Ano 2——————————-Valor de X (em R$)
Ano 3——————————-Valor de 2X (em R$)
O valor de X é, em reais, mais próximo de:
a) 13.270
b) 13.579
c) 13.831
d) 14.125
e) 14.418
Solução: 10.000/ (1,1)1 + x/ (1,1)2 + 2x/ (1,1)3 = 40.000
Fazendo o MMC, temos:
10.000.(1,1)2 + X.(1,1) + 2X = 40.000.(1,1)3
3,1X = 53.240 – 12.100
X = 41.140/3,1
X = 13. 270
47. (AFTN) Uma empresa obteve um financiamento de R$ 10.000,00 à taxa de 120%ao ano capitalizados mensalmente (juros compostos). A empresa pagou R$ 6.000 ao final do primeiro mês e R$ 3.000 ao final do segundo mês. Qual valor deverá ser pago ao final do terceiro mês para liquidar o financiamento?
a) 2.350.
b) 2.450.
c) 2.550.
d) 2.650.
e) 2.750 .
Solução: Taxa nominal: 120% a.a.
Período de Capitalização: mensal
Taxa efetiva: 120 : 12 = 10% a.m.
PV = 6.000 : 1,1 = 5.454,55
PV = 3.000 : (1,1)2
PV = 3.000 : 1,21
PV = R$ 2.479,34
PV = 10.000,00 – 5.454,55 – 2.479,34PV = 2.066,11
FV = 2.066,11 x (1,1)3
FV = 2.066,11 x 1,331
FV = 2.749,99
48. Geralmente utilizamos a TIR (Taxa Interna de Retorno) para análise e avaliação de projetos simples.
Quando um projeto apresenta mais de uma mudança de sinais no seu fluxo de caixa, este projeto poderá ter mais de uma TIR. Analise a figura abaixo.
Assinale a alternativa que indica o número de TIR que o projeto representado nessa figura apresenta.
a) Uma TIR.
b) Duas TIR.
c) Três TIR.
d) Quatro TIR.
e) Cinco TIR.
Comentários: Ataxa interna de retorno é aquela que “zera” o fluxo de caixa, ou seja, somatório das entradas + somatório das saídas = 0, em um dado momento no tempo (data focal).
Na figura observe que em dois momentos, quando a taxa é igual a 25% e 60% o valor do capital é igual a 0 (zero).
49. Considere o fluxo de caixa a seguir, com os valores em reais.
Se a taxa interna de retorno deste fluxo é igual a 8%, o valor de X é igual a:
a) R$ 5.230,00.
b) R$ 5.590,00.
c) R$ 5.940,00.
d) R$ 6.080,00.
e) R$ 6.160,00.
Solução: (- 2x + 1380).(1,08)² + x.(1,08) + x – 108 = 0
(-2x + 1380).(1,1664) + x.(1,08) + x – 108 = 0
-2,3328x + 1609,63 + 1,08x + x – 108 = 0
1.501,63 = 0,2528x
x = 5940
50. Julgue os itens a seguir, acerca de custo efetivo, taxas de retorno e rendas.
Se o custo real efetivo de uma operação financeira for de 15% e se a taxa de inflação acumulada no período for de 8%, então, nesse caso, o custo total efetivo dessa operação financeira será inferior a 24%. (Considere juros compostos)
Solução: 1,15 x 1,08 = 1,242
1,242 – 1 = 0,242 x 100 = 24,2 % (Errado)
51. (CESGRANRIO – 2008) A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de um certo projeto.
Ano 0—————————Valor do Investimento Inicial = R$ – 50,00
Ano 1—————————Valor de R$ 35,00
Ano 2—————————Valor de R$ 22,00
A Taxa Interna de Retorno anual é igual a :
a) 10%.
b) 12%.
c) 15%.
d) 18%.
e) 20%.
Solução: A TIR é a taxa que zera o VPL (valor presente líquido) por isso a expressão tem que ser igualada a zero.
0 = – 50 + 35/(1+i) + 22/(1+i)2
Daí passa o – 50 para o outro lado e tira o MMC de (1 + i) e (1+i)2 que é (1+i)2
50 = (35*(1+i) + 22)/(1+i)2
50i2 + 100i + 50 = 35 + 35i + 22
50i2 + 65i – 7 = 0
Resolvendo a equação de 2º grau:
delta = 5625
X = 0,1 ou X = – 1,4
A Taxa Interna de Retorno (TIR) deve apresentar valor positivo por isso a resposta é 0,1 = 10%.
52. Uma empresa deverá escolher um entre dois projetos X e Y, mutuamente excludentes, que apresentam os seguintes fluxos de caixa:
A taxa mínima de atratividade é de 8% ao ano (capitalização anual) e verifica-se que os valores atuais líquidos referentes aos dois projetos são iguais. Então, o desembolso D referente ao projeto X é igual a:
a) R$ 30.000,00.
b) R$ 40.000,00.
c) R$ 45.000,00.
d) R$ 50.000,00.
e) R$ 60.000,00.
Solução:
D = 16200/(1,08) + 17496/(1,08)2
D = 15000 + 15000
D = 30. 000
Ou ainda:
Projeto X: D = A + (10.800/(1,08) + 11.664/(1,08*1,08)
D = A + 10.000 + 10.000 = A + 20.000
Projeto Y : 40.000 = A + 16.200/1,08 + 17.496/(1,08 + 1,08)
A = 40.000 – 15.000 – 15.00
A = 10.000
Voltando ao resultado do Projeto X: D = 10.000 + 20.000
D = 30.000
53. O gráfico abaixo representa o fluxo de caixa referente a um projeto de investimento com a escala horizontal em anos.
Se a taxa interna de retorno (TIR) correspondente é igual a 20% ao ano, então X é igual a:
a) R$ 21.600,00.
b) R$ 20.000,00.
c) R$ 18.000,00.
d) R$ 15.000,00.
e) R$ 14.400,00.
Solução: Como eu quero saber o valor de X em t1, trazer tudo para t1:
30.000 x 1,2 = 36.000
21.600 / 1,2 = 18.000
x = 36.000 – 18.000 = 18.000
ou ainda:
0 = – 30.000 + X/(1,2) + 21.600/(1,2)²
30.000 = X*(1,2)/(1,2)² + 21.600/(1,2)² (Racionalizando)
30.000*(1,2)² = X*(1,2) + 21.600
43.200 – 21.600 = X*(1,2)
X = 18.000
54. Julgue os itens seguintes, referentes a taxa de retorno e avaliação de alternativas de investimento. Considerando que o investimento de R$ 4.000,00 tenha rendido o pagamento de R$ 3.000,00 ao final do primeiro mês e R$ 3.000,00 ao final do segundo mês, e que 7,55 seja o valor aproximado para √57então a taxa interna de retorno desse investimento foi superior a 35% ao mês.
Solução: 3000 + 3000 (1+i) = 4000 (1 + i)²
Adote (1 + i) = x
Basta resolver a equação do segundo grau. Magicamente a raiz de 57 vai aparecer ao se aplicar a fórmula de Bháskara.
Resultado:
i = 32,125 %
55. (CESGRANRIO) Instrumento que permite equalizar o valor presente de um ou mais pagamentos (saídas de caixa) com o valor presente de um ou mais recebimentos (entradas de caixa) é a(o):
a) taxa de retorno sobre o investimento.
b) taxa interna de retorno.
c) lucratividade embutida.
d) valor médio presente .
e) valor futuro esperado.
Solução: O critério da Taxa Interna de Retorno – TIR é conhecido por representar a taxa de desconto que iguala os fluxos futuros projetados de caixa ao Investimento Inicial realizado pela empresa.
O resultado da TIR procura demonstrar qual o retorno intrínseco ao investimento. De outro modo, pode-se afirmar que o cálculo da TIR procura obter a taxa de desconto (taxa de juros) que torna o Valor Presente Líquido de um empreendimento igual a zero.
56. A seguir são apresentados os valores presentes líquidos (NPV), em reais, de quatro projetos de investimento, admitindo-se diferentes taxas anuais de desconto (taxa mínima de atratividade – TMA):
De acordo com as informações acima, é correto afirmar que:
a) a taxa interna de retorno do Projeto D é maior do que a do Projeto C.
b) a taxa interna de retorno do Projeto B é maior do que a do Projeto A.
c) o Projeto C é economicamente viável, para todas as TMA dadas.
d) o Projeto A é mais rentável que o Projeto D, para qualquer TMA.
e) o Projeto C é mais rentável que o Projeto B, para qualquer TMA.
Comentários: Neste caso o projeto de maior VPL é o que tem a maior TIR, o projeto D é o mais rentável pois tem VPL maior para todas as TMA´s dadas.
O projeto é rentável quando tem valor presente líquido (VPL) positivo.
O projeto é rentável quando a taxa interna de retorno (TIR) for maior do que a taxa mínima de atratividade (TMA).
Com base na tabela, podemos comparar os projetos apenas sob a mesma linha ou seja, sob a mesma TMA.
Sob a mesma linha, aquele projeto com maior VPL, será o mais rentável.
Sob a mesma linha, aquele projeto com maior VPL, terá maior TIR.
Observação: Quando o VPL for negativo, isto representa que o projeto não e rentável. Assim, quanto mais negativo, menos rentável será o projeto.
57. Assinale a alternativa que completa correta e respectivamente as lacunas.
Calculada a Taxa Interna de Retorno (TIR) de um projeto, este será aceito se a taxa encontrada for ____________ à taxa de retorno exigida pelo investidor e rejeitado se for _____________ a essa taxa. Havendo mais de um projeto disponível que possa ser aceito, a escolha recairá naquele de ___________ TIR.
a) inferior – superior – menor.
b) superior – inferior – maior.
c) inferior – superior – maior.
d) superior – inferior – menor.
e) superior – nulo – menor.
Comentários: Um projeto será aceitável sempre que a taxa interna de retorno (TIR) for maior que a taxa mínima de atratividade (TMA), que representa o custo de oportunidade do capital. Sendo que quanto maior a TIR melhor o projeto.
58. Considere as três afirmativas a seguir:
I – Um fluxo de caixa representa o movimento de entradas e desembolsos de capitais ao longo de um universo temporal.
II – Taxa Interna de Retorno (TIR) de um fluxo de caixa é aquela para a qual a soma das entradas de capital é igual à soma dos desembolsos quando a comparação é efetuada em uma mesma data.
III – Dois fluxos de caixa são equivalentes se têm as mesmas entradas de capital.
Está correto o que se afirma em:
a) II, apenas.
b) I e II, apenas.
c) I e III, apenas.
d) II e III, apenas.
e) I, II e III.
Comentários: I – Essa é a definição de fluxo de caixa: montante de caixa recebido e gasto por uma empresa durante um período de tempo definido. Portanto é verdadeira.
II – TIR = é a taxa que zera o VPL do projeto. Portanto, se compararmos em uma mesma data (ex: ano 0) as entradas e os desembolsos e a soma der zero, quer dizer que a taxa utilizada foi a TIR. Logo a alternativa é verdadeira.
III – Os fluxos de caixa são equivalentes quando o VP deles a uma mesma taxa de desconto for igual. Alternativa Falsa.
59. As técnicas de orçamento de capital, quando aplicadas ao fluxo de caixas dos projetos de uma empresa , fornecem importantes informações para a avaliação de aceitabilidade ou classificação desses projetos. Lawrence Gitman. Princípios de administração financeira. 12ª ed. São Paulo, pearson, 2010, p. 380.
Com relação a esse assunto, julgue os itens a seguir:
Para aceitar projetos de investimento, a empresa deve julgar os que representam TIRs superiores ao custo do capital. (C)
Comentários: Um projeto deve ser aceito, ou, um investimento deve ser realizado quando:
TIR > Custo do Capital ou Custo de Oportunidade do Capital.
TIR > Taxa Mínima de atratividade (TMA)
Em economia, a TIR também é conhecida como EFICIÊNCIA MARGINAL DO CAPITAL (EMC).
60. As técnicas de orçamento de capital, quando aplicadas ao fluxo de caixas dos projetos de uma empresa , fornecem importantes informações para a avaliação de aceitabilidade ou classificação desses projetos. Lawrence Gitman. Princípios de administração financeira. 12ª ed. São Paulo, pearson, 2010, p. 380.
Com relação a esse assunto, julgue os itens a seguir:
A taxa utilizada para descontar os fluxos de caixa representa o retorno mínimo necessário para que um projeto deixe inalterado o valor de mercado da empresa. (C)
61. Acerca de aspectos financeiros dos investimentos, julgue os itens que se seguem.
Se um projeto de investimento for realizado em condições tais que a taxa de custo de capital corresponda a valores menores do que a taxa interna de retorno, o projeto apresentará uma renda positiva para os investidores. (C)
Comentários: Um bom investimento (investimento viável) deve ter uma TIR superior a TMA.
A TMA indica a taxa mínima praticada no mercado e a TIR, a do retorno esperado. Ora, não é lógico apoiar um investimento que dê retorno abaixo da taxa mínima de mercado.
A questão é bem simples.
A única dificuldade é que a CESPE tentou confundir o candidato trocando o termo TMA por “custo de capital”.
Sabendo-se que para um investimento ser viável TIR > TMA. Portanto, a alternativa está certa.
62. Considerando o gráfico a seguir conclui-se que:
a) (I) e (II) têm a mesma taxa interna de retorno.
b) (I) e (II) têm o mesmo VPL, com a taxa de desconto de 5% a.a.
c) a taxa interna de retorno de (II) é igual a 10% a.a.
d) o projeto (I) é preferível ao (II).
e) o projeto (II) é preferível ao (I).
Comentários: Quanto maior um VPL, mais viável (preferível) é um investimento.
As alternativas D e E são descartadas porque o projeto II é melhor do que o 1 caso a TMA seja superior a 5% e o projeto I melhor quando a TMA é inferior. Ou seja, nenhum dos dois investimentos é melhor do que o outro em absoluto (ou no intervalo dado).
A TIR é onde o eixo x é cortado (VPL = 0).
A TIR do projeto I é de 10% e a TIR do projeto II, embora desconhecida, sabe-se que é superior a 10%, o que descarta alternativas A e C.
Resta-nos a alternativa B.
63. Considere que uma instituição financeira ofereça as seguintes opções de empréstimo:
I. R$ 40.000,00 – a serem pagos após um mês da contratação do empréstimo em uma parcela de R$ 40.600,00.
II. R$ 20.000,00 - a serem pagos em duas parcelas mensais e iguais, a primeira vencendo 1 mês após a contratação do empréstimo, a uma Taxa Interna de Retorno (TIR) de 2%.
Com base nessas informações e tomando 0,98 e 0,96 como valores aproximados de 1,02-1 e 1,02-2, respectivamente, julgue os itens que se seguem.
Na opção I, a taxa interna de retorno é superior a 1,6%.
Solução: 40.600 : 40.000 = 1,015 – 1 = 0,015 x 100 = 1,5% (Errada)